মাধ্যমিক 2027 অঙ্ক সাজেশন ও গণিত সাজেশন (২০২৭) | WBBSE Class 10 Math Suggestion 2027 PDF প্রশ্ন উত্তর (গণিত প্রকাশ ও কষে দেখি)

পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ (WBBSE)-এর দশম শ্রেণির (Class 10) পরীক্ষার্থীদের জন্য মাধ্যমিক 2027 অঙ্ক সাজেশন বা মাধ্যমিক ২০২৭ গণিত সাজেশন (WBBSE Class 10 Math Suggestion 2027 PDF) সবচেয়ে স্কোরিং গাইড। সঠিক পরিকল্পনা এবং দশম শ্রেণির পাঠ্যবই গণিত প্রকাশ (Ganit Prakash)-এর প্রতিটি অধ্যায়ের কষে দেখি (Koshe Dekhi) ও প্রয়োগ (Applications)-এর নির্দিষ্ট কিছু অঙ্ক নিয়মিত অভ্যাস করলে মাধ্যমিক 2027 অঙ্ক পরীক্ষায় ৯০-এ ৯০ পাওয়া মোটেও কঠিন নয়।

আমাদের এই মাধ্যমিক 2027 অঙ্ক সাজেশন ও গণিত সাজেশন (২০২৭) আর্টিকেলে আমরা পাটিগণিত (সরল সুদকষা, চক্রবৃদ্ধি সুদ, অংশীদারি কারবার), বীজগণিত (দ্বিঘাত সমীকরণ, অনুপাত ও সমানুপাত, দ্বিঘাত করণী, ভেদ), জ্যামিতি (উপপাদ্য, সম্পাদ্য ও জ্যামিতিক প্রয়োগ), ত্রিকোণমিতি (উচ্চতা ও দূরত্বসহ), পরিমিতি (আয়তঘন, চোঙ, শঙ্কু, গোলক) এবং রাশিবিজ্ঞান (গড়, মধ্যমা, ওজাইভ ও সংখ্যাগুরু মান)—প্রতিটি বিভাগের কষে দেখি ধরে ধরে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ অঙ্ক এবং ধাপে ধাপে সম্পূর্ণ সমাধান (Step-by-Step Model Solutions) তুলে ধরেছি।

মাধ্যমিক 2027 অঙ্ক সাজেশন: গণিত নম্বর বিভাজন ও প্রশ্নপত্রের কাঠামো (WBBSE Class 10 Math Marks Distribution 2027)

মাধ্যমিক ২০২৭ (Madhyamik 2027) গণিত প্রশ্নপত্রে কোন বিভাগ থেকে কত নম্বরের প্রশ্ন থাকবে, তার অফিসিয়াল ব্লু-প্রিন্ট নিচের টেবিলে দেখে নাও:

১. মাধ্যমিক 2027 পাটিগণিত সাজেশন ও সমাধান (Class 10 Arithmetic Suggestion 2027 — ৫ নম্বরের প্রশ্ন)

পাটিগণিতে মোট ৩টি অধ্যায় রয়েছে: সরল সুদকষা (কষে দেখি 2 / কষে দেখি ২), চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস (কষে দেখি 6.1 ও 6.2 / কষে দেখি ৬.১ ও ৬.২) এবং অংশীদারি কারবার (কষে দেখি 14 / কষে দেখি ১৪)। পরীক্ষায় ২টি ৫ নম্বরের প্রশ্ন থাকে, যার মধ্যে ১টি করতে হয়।

গণিত প্রকাশ কষে দেখি অনুযায়ী পাটিগণিতের মোস্ট ইম্পর্ট্যান্ট দাগ নম্বর:

• সরল সুদকষা (কষে দেখি 2): দাগ নম্বর— 13, 14, 16, 18, 19, 20 এবং প্রয়োগ 25, 27, 29।
• চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি (কষে দেখি 6.1 ও 6.2): কষে দেখি 6.1-এর দাগ নম্বর— 11, 13, 15, 17, 19, 21, 24; কষে দেখি 6.2-এর দাগ নম্বর— 5, 7, 9, 10, 12, 15।
• অংশীদারি কারবার (কষে দেখি 14): দাগ নম্বর— 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15 এবং প্রয়োগ 11।

আদর্শ সমাধান ১ (সরল সুদকষা — ৫ নম্বর): রহমত চাচা একটি বাড়ি তৈরি করার জন্য বার্ষিক ১২% সরল সুদের হারে ২,৪০,০০০ টাকা ব্যাংক থেকে ধার নেন। ধার নেওয়ার ১ বছর পর তিনি বাড়িটি প্রতি মাসে ৫,২০০ টাকায় ভাড়া দেন। ধার নেওয়ার কত বছর পরে তিনি বাড়িভাড়ার আয় থেকে ব্যাংকের টাকা সুদসহ শোধ করতে পারবেন? (কষে দেখি 2, দাগ নং 20)

সমাধান (Step-by-Step Solution):

• প্রদত্ত তথ্য ও চলরাশি ধরা: মনে করি, রহমত চাচা ধার নেওয়ার x বছর পরে বাড়িভাড়ার আয় থেকে ব্যাংকের টাকা সুদসহ শোধ করতে পারবেন।
• ব্যাংকের আসল ও সুদের হিসাব:
  • আসল (P) = 2,40,000 টাকা
  • বার্ষিক সরল সুদের হার (r) = 12%
  • সময় (t) = x বছর
  • অতএব, x বছরে ব্যাংকের মোট সরল সুদ (I) = (P × r × t) / 100 = (2,40,000 × 12 × x) / 100 টাকা = 28,800x টাকা।
  • সুতরাং, x বছর পর ব্যাংকে সুদে-আসলে মোট শোধ করতে হবে = (2,40,000 + 28,800x) টাকা।
• বাড়িভাড়া থেকে মোট আয়ের হিসাব:
  • ধার নেওয়ার ১ বছর পর বাড়ি ভাড়া দেওয়া হয়েছে, তাই বাড়িভাড়া পাওয়া গেছে (x − 1) বছর।
  • মাসিক ভাড়া = 5,200 টাকা।
  • ১ বছরের বা ১২ মাসের বাড়িভাড়া = (5,200 × 12) টাকা = 62,400 টাকা।
  • অতএব, (x − 1) বছরের মোট বাড়িভাড়া = 62,400(x − 1) টাকা।
• শর্তানুসারে সমীকরণ গঠন ও সমাধান:
  • 62,400(x − 1) = 2,40,000 + 28,800x
  • বা, 62,400x − 62,400 = 2,40,000 + 28,800x
  • বা, 62,400x − 28,800x = 2,40,000 + 62,400
  • বা, 33,600x = 3,02,400
  • বা, x = 3,02,400 / 33,600 = 3024 / 336 = 9
• নির্ণেয় উত্তর: ধার নেওয়ার ৯ বছর পরে রহমত চাচা বাড়িভাড়ার আয় থেকে ব্যাংকের টাকা সুদসহ শোধ করতে পারবেন।

আদর্শ সমাধান ২ (চক্রবৃদ্ধি সুদ — ৫ নম্বর): কোনো মূলধনের ২ বছরের সরল সুদ ৮,৪০০ টাকা এবং চক্রবৃদ্ধি সুদ ৮,৬৫২ টাকা হলে মূলধন ও বার্ষিক সুদের হার নির্ণয় করো। (কষে দেখি 6.1, দাগ নং 17)

সমাধান (Step-by-Step Solution):

• ধাপ ১ (১ বছরের সরল সুদ নির্ণয়):
  • ২ বছরের সরল সুদ = 8,400 টাকা।
  • অতএব, ১ বছরের সরল সুদ = 8,400 / 2 = 4,200 টাকা।
• ধাপ ২ (চক্রবৃদ্ধি ও সরল সুদের পার্থক্য থেকে সুদের হার নির্ণয়):
  • ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের পার্থক্য = (8,652 − 8,400) টাকা = 252 টাকা।
  • আমরা জানি, ২ বছরের ক্ষেত্রে এই অতিরিক্ত 252 টাকা হলো প্রথম বছরের সুদ (4,200 টাকা)-এর ওপর ১ বছরের সুদ।
  • অতএব, বার্ষিক সুদের হার (r) = (252 × 100) / (4,200 × 1) % = 252 / 42 % = 6%।
• ধাপ ৩ (মূলধন নির্ণয়):
  • এখন, বার্ষিক 6% হারে ১ বছরের সুদ 4,200 টাকা হলে,
  • নির্ণেয় মূলধন (P) = (I × 100) / (r × t) = (4,200 × 100) / (6 × 1) টাকা = 70,000 টাকা।
• নির্ণেয় উত্তর: মূলধন ৭০,০০০ টাকা এবং বার্ষিক সুদের হার ৬%।

আদর্শ সমাধান ৩ (অংশীদারি কারবার — ৫ নম্বর): দুই বন্ধু যথাক্রমে ৪০,০০০ টাকা ও ৫০,০০০ টাকা দিয়ে একটি যৌথ ব্যবসা শুরু করেন। তাঁদের মধ্যে চুক্তি হয় যে, লাভের ৫০% নিজেদের মধ্যে সমান ভাগে এবং লাভের অবশিষ্টাংশ মূলধনের অনুপাতে ভাগ হবে। প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশের পরিমাণ যদি দ্বিতীয় বন্ধুর লভ্যাংশ অপেক্ষা ৮০০ টাকা কম হয়, তবে প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশের পরিমাণ হিসাব করো। (কষে দেখি 14, দাগ নং 14)

সমাধান (Step-by-Step Solution):

• মূলধনের অনুপাত: প্রথম ও দ্বিতীয় বন্ধুর মূলধনের অনুপাত = 40,000 : 50,000 = 4 : 5।
• মোট লাভ ও লভ্যাংশ বণ্টন:
  • মনে করি, ব্যবসায় মোট লাভ হয়েছে = x টাকা।
  • লাভের ৫০% = x × (50 / 100) = x/2 টাকা, যা দুজনের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ হয় (প্রত্যেকে পায় x/4 টাকা)।
  • অবশিষ্ট লাভ = (x − x/2) = x/2 টাকা, যা মূলধনের অনুপাতে অর্থাৎ 4 : 5 অনুপাতে ভাগ হয়।
  • যেহেতু প্রথম অর্ধেক লাভ সমানভাবে ভাগ হয়েছে, তাই দুই বন্ধুর লভ্যাংশের পার্থক্য তৈরি হয়েছে কেবল অবশিষ্ট x/2 টাকার বণ্টন থেকে।
• শর্তানুসারে সমীকরণ:
  • অবশিষ্ট x/2 টাকা থেকে প্রথম বন্ধু পান = (x/2) × {4 / (4 + 5)} = 4x / 18 টাকা।
  • অবশিষ্ট x/2 টাকা থেকে দ্বিতীয় বন্ধু পান = (x/2) × {5 / (4 + 5)} = 5x / 18 টাকা।
  • প্রশ্নানুসারে, (5x / 18) − (4x / 18) = 800
  • বা, x / 18 = 800 ⇒ x = 14,400 টাকা (মোট লাভ)।
• প্রথম বন্ধুর মোট লভ্যাংশ: প্রথম বন্ধু মোট লভ্যাংশ পান = (x / 4) + (4x / 18) = (14,400 / 4) + (4 × 800) = 3,600 + 3,200 = 6,800 টাকা।
• নির্ণেয় উত্তর: প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশের পরিমাণ ৬,৮০০ টাকা।

২. মাধ্যমিক 2027 বীজগণিত সাজেশন ও সমাধান (Class 10 Algebra Suggestion 2027 — ৩ নম্বরের প্রশ্ন)

বীজগণিতে মোট ৪টি অধ্যায় থেকে ৩ নম্বরের ৩টি প্রশ্ন উত্তর করতে হয়: ১. একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (কষে দেখি 1.1 থেকে 1.5) ২. অনুপাত ও সমানুপাত (কষে দেখি 5.1 থেকে 5.3) ৩. দ্বিঘাত করণী (কষে দেখি 9.1 থেকে 9.3) এবং ভেদ (কষে দেখি 13)

গণিত প্রকাশ কষে দেখি অনুযায়ী বীজগণিতের মোস্ট ইম্পর্ট্যান্ট দাগ নম্বর:

• কষে দেখি 1.2 (সমাধান করো): দাগ নং 4-এর (x), (xii), (xiii), (xv), (xvi), (xviii), (xix) এবং প্রয়োগ 12, 13।
• কষে দেখি 1.3 ও 1.4 (শব্দভিত্তিক দ্বিঘাত সমীকরণ): কষে দেখি 1.3-এর 6, 7, 8, 9; কষে দেখি 1.4-এর 3 (iii, vi, vii)।
• কষে দেখি 1.5 (বীজদ্বয়ের প্রকৃতি): দাগ নং 4, 5, 6, 8, 9, 12, 13।
• কষে দেখি 5.3 (অনুপাত ও সমানুপাত): দাগ নং 4 (ii, iii), 6 (iii, v, vi), 7 (ii), 8 (i, ii, iv), 10 (i, ii), 11 (i, ii) এবং প্রয়োগ 55, 56, 61, 63।
• কষে দেখি 9.3 (দ্বিঘাত করণী): দাগ নং 2 (c, d), 5, 6 (i, ii, iii), 7, 8, 9 এবং প্রয়োগ 33, 37।
• কষে দেখি 13 (ভেদ / Variation): দাগ নং 4 (iii), 5 (ii, iv), 6, 7, 9, 11, 12, 13, 15।

আদর্শ সমাধান ১ (দ্বিঘাত সমীকরণ — ৩ নম্বর): সমাধান করো: 1 / (a + b + x) = (1 / a) + (1 / b) + (1 / x) (যেখানে x ≠ 0, −a − b) (কষে দেখি 1.2, দাগ নং 4-xv)

সমাধান (Step-by-Step Solution):

• প্রদত্ত সমীকরণ: 1 / (a + b + x) = (1 / a) + (1 / b) + (1 / x)
• পক্ষান্তর ও ল.সা.গু. করে সরলীকরণ:
  • বা, {1 / (a + b + x)} − (1 / x) = (1 / a) + (1 / b)
  • বা, {x − (a + b + x)} / {x(a + b + x)} = (b + a) / ab
  • বা, {x − a − b − x} / (x² + ax + bx) = (a + b) / ab
  • বা, −(a + b) / (x² + ax + bx) = (a + b) / ab
• উভয়পক্ষকে (a + b) দিয়ে ভাগ করে পাই (যেহেতু a + b ≠ 0):
  • বা, −1 / (x² + ax + bx) = 1 / ab
  • বা, x² + ax + bx = −ab (বজ্রগুণন করে)
  • বা, x² + ax + bx + ab = 0
  • বা, x(x + a) + b(x + a) = 0
  • বা, (x + a)(x + b) = 0
• দুটি উৎপাদকের গুণফল শূন্য হলে:
  • হয়, x + a = 0 ⇒ x = −a
  • অথবা, x + b = 0 ⇒ x = −b
• নির্ণেয় সমাধান: x = −a, −b।

আদর্শ সমাধান ২ (দ্বিঘাত করণী — ৩ নম্বর): যদি x = (√7 + √3) / (√7 − √3) এবং xy = 1 হয়, তবে দেখাও যে (x² + xy + y²) / (x² − xy + y²) = 12 / 11 (কষে দেখি 9.3, দাগ নং 6)

সমাধান (Step-by-Step Solution):

• ধাপ ১ (x + y এবং xy-এর মান নির্ণয়):
  • দেওয়া আছে, x = (√7 + √3) / (√7 − √3) এবং xy = 1 ⇒ y = 1 / x = (√7 − √3) / (√7 + √3)।
  • অতএব, x + y = {(√7 + √3) / (√7 − √3)} + {(√7 − √3) / (√7 + √3)}
  • বা, x + y = {(√7 + √3)² + (√7 − √3)²} / {(√7)² − (√3)²}
  • বা, x + y = {2 × (7 + 3)} / (7 − 3) = (2 × 10) / 4 = 20 / 4 = 5।
• ধাপ ২ (x² + y²-এর মান নির্ণয়):
  • x² + y² = (x + y)² − 2xy = (5)² − 2(1) = 25 − 2 = 23।
• ধাপ ৩ (প্রদত্ত রাশির মান নির্ণয়):
  • বামপক্ষ (L.H.S.) = (x² + xy + y²) / (x² − xy + y²)
  • = {(x² + y²) + xy} / {(x² + y²) − xy}
  • = (23 + 1) / (23 − 1) = 24 / 22 = 12 / 11 = ডানপক্ষ (R.H.S.) (প্রমাণিত)।

আদর্শ সমাধান ৩ (অনুপাত ও সমানুপাত — ৩ নম্বর): যদি a / (b + c) = b / (c + a) = c / (a + b) হয়, তবে প্রমাণ করো যে প্রতিটি অনুপাতের মান 1/2 অথবা −1। (কষে দেখি 5.3, দাগ নং 10-ii)

সমাধান (Step-by-Step Solution):

• সংযোজন প্রক্রিয়া (Addendo property) প্রয়োগ করে পাই: প্রত্যেকটি অনুপাত = (a + b + c) / {(b + c) + (c + a) + (a + b)} = (a + b + c) / {2(a + b + c)}
• ক্ষেত্র ১: যদি (a + b + c) ≠ 0 হয়, তবে লব ও হরকে (a + b + c) দিয়ে ভাগ করে পাই: প্রত্যেকটি অনুপাতের মান = 1/2
• ক্ষেত্র ২: যদি (a + b + c) = 0 হয়, তবে b + c = −a। সুতরাং, প্রথম অনুপাত = a / (b + c) = a / (−a) = −1।
• অতএব প্রমাণিত হলো যে, প্রতিটি অনুপাতের মান 1/2 অথবা −1।

আদর্শ সমাধান ৪ (বীজগণিত: ভেদ / Variation — ৩ নম্বর): গোলকের আয়তন গোলকের ব্যাসার্ধের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়। 1½, 2 এবং 2½ মিটার দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট তিনটি নিরেট সীসার গোলক গলিয়ে একটি নতুন নিরেট গোলক তৈরি করা হলো। নতুন গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো। (ভেদের সাহায্যে) (কষে দেখি 13, দাগ নং 9)

সমাধান (Step-by-Step Solution):

• ভেদের সম্পর্ক গঠন: মনে করি, গোলকের আয়তন = V ঘনমিটার এবং গোলকের ব্যাসার্ধ = r মিটার। প্রশ্নানুসারে, V ∝ r³ ⇒ V = k·r³ (যেখানে k ≠ 0 একটি ভেদ ধ্রুবক)।
• তিনটি ছোটো গোলকের ব্যাসার্ধ ও আয়তন নির্ণয়: ১. প্রথম গোলকের ব্যাস = 1½ = 3/2 মিটার ⇒ ব্যাসার্ধ (r₁) = 3/4 মিটার। অতএব, প্রথম গোলকের আয়তন (V₁) = k × (3/4)³ = 27k / 64 ঘনমিটার। ২. দ্বিতীয় গোলকের ব্যাস = 2 মিটার ⇒ ব্যাসার্ধ (r₂) = 2/2 = 1 মিটার। অতএব, দ্বিতীয় গোলকের আয়তন (V₂) = k × (1)³ = k ঘনমিটার। ৩. তৃতীয় গোলকের ব্যাস = 2½ = 5/2 মিটার ⇒ ব্যাসার্ধ (r₃) = 5/4 মিটার। অতএব, তৃতীয় গোলকের আয়তন (V₃) = k × (5/4)³ = 125k / 64 ঘনমিটার।
• নতুন গোলকের ব্যাসার্ধ ও ব্যাস নির্ণয়: মনে করি, নতুন গোলকের ব্যাসার্ধ = R মিটার। সুতরাং নতুন গোলকের আয়তন (V) = k·R³ ঘনমিটার। যেহেতু তিনটি গোলক গলিয়ে নতুন গোলকটি তৈরি হয়েছে, তাই:
  • V = V₁ + V₂ + V₃
  • বা, k·R³ = (27k / 64) + k + (125k / 64)
  • বা, k·R³ = k × {(27 + 64 + 125) / 64} = k × (216 / 64)
  • বা, R³ = (6 / 4)³ = (3 / 2)³ ⇒ R = 3/2 মিটার।
  • অতএব, নতুন গোলকের ব্যাস = 2R = 2 × (3/2) = 3 মিটার।
• নির্ণেয় উত্তর: নতুন নিরেট গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য ৩ মিটার।

৩. মাধ্যমিক 2027 জ্যামিতি সাজেশন: উপপাদ্য, সম্পাদ্য ও প্রয়োগ (Class 10 Geometry Suggestion 2027 — ১৩ নম্বর)

জ্যামিতির বিস্তারিত উপপাদ্য ও সম্পাদ্য সাজেশন আমরা আর্টিকেল #৫-এ দিয়েছি। এখানে মেগা সাজেশনের জন্য ২০২৭ সালের নিশ্চিত তালিকাটি একনজরে দেওয়া হলো:

মাধ্যমিক 2027 সেরা ৫টি উপপাদ্য (Theorem Suggestion — ৫ নম্বর নিশ্চিত):

১. উপপাদ্য ৪৯ (পিথাগোরাসের উপপাদ্য — ১০০% নিশ্চিত): যেকোনো সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান। (পৃষ্ঠা ২৮৫) ২. উপপাদ্য ৫০ (পিথাগোরাসের বিপরীত উপপাদ্য): যেকোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হলে, প্রথম বাহুর বিপরীত কোণটি সমকোণ হবে। (পৃষ্ঠা ২৮৬) ৩. উপপাদ্য ৪৮: যেকোনো সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের ওপর লম্ব অঙ্কন করলে, এই লম্বের উভয় পার্শ্বস্থ ত্রিভুজদ্বয় পরস্পর সদৃশ এবং ওই ত্রিভুজগুলির প্রত্যেকে মূল ত্রিভুজের সঙ্গে সদৃশ। (পৃষ্ঠা ২৫৫) ৪. উপপাদ্য ৩৪: কোনো বৃত্তের একটি বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণ ওই চাপের দ্বারা গঠিত যেকোনো বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ। (পৃষ্ঠা ১২৩) ৫. উপপাদ্য ৪১ ও ৪২ (বৃত্তের স্পর্শক): বৃত্তের বহিস্থ কোনো বিন্দু থেকে যে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়, তাদের স্পর্শবিন্দু দুটির সঙ্গে বহিস্থ বিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ দুটির দৈর্ঘ্য সমান এবং তারা কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করে (উপপাদ্য ৪১)।

মাধ্যমিক 2027 সেরা ৩টি সম্পাদ্য (Construction Suggestion — ৫ নম্বর নিশ্চিত):

১. ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন (কষে দেখি 11.1 ও 11.2): বিশেষ করে অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন (Incircle of a Triangle) ২০২৭ সালের জন্য সর্বাধিক গুরুত্বপূর্ণ। ২. জ্যামিতিক উপায়ে বর্গমূল নির্ণয় (√21, √23, √28, √35) ও মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় (কষে দেখি 21): ৪ সেমি ও ৩ সেমি বাহুবিশিষ্ট আয়তক্ষেত্রের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্র অঙ্কন। ৩. বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন (কষে দেখি 17): বহিস্থ বিন্দু থেকে বৃত্তে দুটি স্পর্শক অঙ্কন।

৪. মাধ্যমিক 2027 ত্রিকোণমিতি এবং উচ্চতা ও দূরত্ব সাজেশন ও সমাধান (Class 10 Trigonometry Suggestion 2027 — ১১ নম্বর)

ত্রিকোণমিতি থেকে ৩ নম্বরের ২টি অঙ্ক এবং উচ্চতা ও দূরত্ব (Height and Distance – কষে দেখি 25) থেকে ৫ নম্বরের ১টি অঙ্ক আসে।

গণিত প্রকাশ কষে দেখি অনুযায়ী ত্রিকোণমিতির মোস্ট ইম্পর্ট্যান্ট দাগ নম্বর:

• কোণ পরিমাপের ধারণা (কষে দেখি 20): দাগ নং 6, 8, 9, 10, 13।
• ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও অভেদাবলি (কষে দেখি 23.2 ও 23.3): কষে দেখি 23.2-এর দাগ নং 5 (iii, vi, viii), 6 (iv, vi), 7 (ii, iii), 8; কষে দেখি 23.3-এর দাগ নং 3 (iv, ix, x, xii, xiv), 4 (i, iii), 6 (i, iii, v, vi), 7, 8।
• পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (কষে দেখি 24): দাগ নং 2 (iv, v), 3 (ii, iii), 4, 5, 6, 7, 8, 9।
• উচ্চতা ও দূরত্ব (কষে দেখি 25 — ৫ নম্বরের প্রশ্ন): দাগ নং 8, 10, 11, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22, 23 এবং প্রয়োগ 7, 11, 12, 13।

আদর্শ সমাধান ১ (উচ্চতা ও দূরত্ব — ৫ নম্বর): সূর্যের উন্নতি কোণ 45° থেকে বৃদ্ধি পেয়ে 60° হলে, একটি খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য ৩ মিটার কমে যায়। খুঁটিটির উচ্চতা নির্ণয় করো। (√3 = 1.732 ধরে) (কষে দেখি 25, দাগ নং 8)

সমাধান (Step-by-Step Solution):

• চিত্রের জ্যামিতিক বর্ণনা: মনে করি, AB হলো উল্লম্ব খুঁটি যার উচ্চতা h মিটার (AB = h)। সূর্যের উন্নতি কোণ যখন 45° ছিল, তখন খুঁটিটির ছায়ার দৈর্ঘ্য ছিল BC (∠ACB = 45°) এবং উন্নতি কোণ বৃদ্ধি পেয়ে যখন 60° হলো, তখন ছায়ার দৈর্ঘ্য কমে হলো BD (∠ADB = 60°)। প্রশ্নানুসারে, ছায়ার দৈর্ঘ্য হ্রাস পেয়েছে CD = 3 মিটার।
• সমকোণী ত্রিভুজ থেকে সমীকরণ গঠন:
  • সমকোণী △ABD থেকে পাই: cot 60° = BD / AB ⇒ 1 / √3 = BD / h ⇒ BD = h / √3 মিটার — (সমীকরণ ১)
  • আবার, সমকোণী △ABC থেকে পাই: cot 45° = BC / AB ⇒ 1 = (BD + CD) / h ⇒ BD + 3 = h ⇒ BD = (h − 3) মিটার — (সমীকরণ ২)
• h-এর মান নির্ণয়: (১) ও (২) নং সমীকরণ তুলনা করে পাই:
  • h − 3 = h / √3
  • বা, h − (h / √3) = 3
  • বা, h × {(√3 − 1) / √3} = 3
  • বা, h = 3√3 / (√3 − 1)
  • লব ও হরকে (√3 + 1) দিয়ে গুণ করে করণী নিরসন করে পাই:
  • বা, h = {3√3 × (√3 + 1)} / {(√3)² − (1)²}
  • বা, h = {3 × (3 + √3)} / (3 − 1) = {3 × (3 + 1.732)} / 2
  • বা, h = (3 × 4.732) / 2 = 3 × 2.366 = 7.098 মিটার (প্রায়)।
• নির্ণেয় উত্তর: খুঁটিটির উচ্চতা ৭.০৯৮ মিটার (প্রায়)।

আদর্শ সমাধান ২ (ত্রিকোণমিতি: পূরক কোণ ও অভেদাবলি — ৩ নম্বর): যদি sin 17° = x / y হয়, তবে দেখাও যে sec 17° − sin 73° = x² / {y√(y² − x²)} (কষে দেখি 24, দাগ নং 9)

সমাধান (Step-by-Step Solution):

• ধাপ ১ (cos 17° ও sec 17°-এর মান নির্ণয়):
  • দেওয়া আছে, sin 17° = x / y।
  • আমরা জানি, cos θ = √(1 − sin² θ) (যেহেতু 17° সূক্ষ্মকোণ, তাই মান ধনাত্মক)।
  • অতএব, cos 17° = √{1 − (x² / y²)} = √(y² − x²) / y
  • এবং, sec 17° = 1 / cos 17° = y / √(y² − x²)
• ধাপ ২ (পূরক কোণের সূত্র প্রয়োগ ও প্রমাণ):
  • এখন, sin 73° = sin(90° − 17°) = cos 17° = √(y² − x²) / y।
  • অতএব, বামপক্ষ (L.H.S.) = sec 17° − sin 73°
  • = {y / √(y² − x²)} − {√(y² − x²) / y}
  • = {y² − (y² − x²)} / {y√(y² − x²)}
  • = (y² − y² + x²) / {y√(y² − x²)}
  • = x² / {y√(y² − x²)} = ডানপক্ষ (R.H.S.) (প্রমাণিত)।

৫. মাধ্যমিক 2027 পরিমিতি ও রাশিবিজ্ঞান সাজেশন ও সমাধান (Class 10 Mensuration & Statistics Suggestion 2027 — ১২ নম্বর)

পরিমিতি থেকে ৪ নম্বরের ২টি অঙ্ক (4 × 2 = 8) এবং রাশিবিজ্ঞান থেকে ৪ নম্বরের ১টি অঙ্ক (4 × 1 = 4) করতে হয়।

গণিত প্রকাশ কষে দেখি অনুযায়ী পরিমিতি ও রাশিবিজ্ঞানের মোস্ট ইম্পর্ট্যান্ট দাগ নম্বর:

• আয়তঘন (কষে দেখি 4): দাগ নং 10, 11, 13, 15, 16, 18, 19, 21, 22।
• লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (কষে দেখি 8): দাগ নং 7, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 18।
• গোলক (কষে দেখি 12): দাগ নং 6, 9, 10, 12, 13, 14।
• লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (কষে দেখি 16): দাগ নং 6, 8, 9, 10, 11, 12।
• বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (কষে দেখি 19): দাগ নং 3, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15।
• রাশিবিজ্ঞান: গড়, মধ্যমা, ওজাইভ ও সংখ্যাগুরু মান (কষে দেখি 26.1, 26.2 ও 26.4):
  • যৌগিক গড় (কষে দেখি 26.1): ক্রমবিচ্যুতি পদ্ধতিতে গড় নির্ণয় এবং লুপ্ত পরিসংখ্যা (x, y বা f₁, f₂) নির্ণয়—দাগ নং 6, 8 (i, ii), 9 (i, ii), 10, 12, 13।
  • মধ্যমা (কষে দেখি 26.2): দাগ নং 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15।
  • সংখ্যাগুরু মান (কষে দেখি 26.4): দাগ নং 5, 6, 7, 8।

আদর্শ সমাধান ১ (পরিমিতি: গোলক ও চোঙ — ৪ নম্বর): ৯ সেমি অন্তর্ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি অর্ধগোলাকার পাত্র সম্পূর্ণ জলপূর্ণ আছে। এই জল ৩ সেমি ব্যাস এবং ৪ সেমি উচ্চতাবিশিষ্ট চোঙাকৃতি বোতলে ভর্তি করে রাখলে কতগুলি বোতল দরকার হবে নির্ণয় করো। (কষে দেখি 19, দাগ নং 3)

সমাধান (Step-by-Step Solution):

• অর্ধগোলাকার পাত্রের আয়তন নির্ণয়:
  • অর্ধগোলাকার পাত্রের অন্তর্ব্যাসার্ধ (R) = 9 সেমি।
  • অতএব, পাত্রে থাকা মোট জলের আয়তন = (2/3) × π × R³ = (2/3) × π × (9)³ ঘনসেমি = (2/3) × π × 729 = 486π ঘনসেমি।
• ১টি চোঙাকৃতি বোতলের আয়তন নির্ণয়:
  • চোঙাকৃতি বোতলের ব্যাস = 3 সেমি ⇒ ব্যাসার্ধ (r) = 3/2 সেমি।
  • বোতলের উচ্চতা (h) = 4 সেমি।
  • অতএব, ১টি বোতলের আয়তন = π × r² × h = π × (3/2)² × 4 ঘনসেমি = π × (9/4) × 4 = 9π ঘনসেমি।
• প্রয়োজনীয় বোতলের সংখ্যা নির্ণয়:
  • নির্ণেয় বোতলের সংখ্যা = (মোট জলের আয়তন) / (১টি বোতলের আয়তন) = 486π / 9π = 54টি।
• নির্ণেয় উত্তর: সম্পূর্ণ জল ভর্তি করতে ৫৪টি বোতল দরকার হবে।

আদর্শ সমাধান ২ (রাশিবিজ্ঞান: মধ্যমা নির্ণয় — ৪ নম্বর): নিচের পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটির মধ্যমা নির্ণয় করো:

সমাধান (Step-by-Step Solution):

• ধাপ ১ (ক্ষুদ্রতর সূচক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা ছক গঠন):

• ধাপ ২ (মধ্যমা শ্রেণি ও সূত্র প্রয়োগ):
  • এখানে মোট পরিসংখ্যা N = 80, অতএব N / 2 = 80 / 2 = 40।
  • 40-এর ঠিক বেশি ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা হলো 62, যার অনুরূপ শ্রেণি হলো 30 – 40। সুতরাং, মধ্যমা শ্রেণি = 30 – 40।
  • এখানে, মধ্যমা শ্রেণির নিম্নসীমা (l) = 30,
  • মধ্যমা শ্রেণির পরিসংখ্যা (f) = 25,
  • মধ্যমা শ্রেণির ঠিক পূর্ববর্তী শ্রেণির ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (cf) = 37,
  • শ্রেণিদৈর্ঘ্য (h) = 10।
  • অতএব, নির্ণেয় মধ্যমা: মধ্যমা (Median) = l + {((N/2) − cf) / f} × h = 30 + {(40 − 37) / 25} × 10 = 30 + (3 × 10) / 25 = 30 + (30 / 25) = 30 + 1.2 = 31.2
• নির্ণেয় উত্তর: প্রদত্ত তথ্যের মধ্যমা ৩১.২।

আদর্শ সমাধান ৩ (রাশিবিজ্ঞান: সংখ্যাগুরু মান নির্ণয় — ৪ নম্বর): নিচের পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটির সংখ্যাগুরু মান (Mode) নির্ণয় করো:

সমাধান (Step-by-Step Solution):

• ধাপ ১ (সংখ্যাগুরু মান সংবলিত শ্রেণি নির্বাচন): প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছকে সর্বাধিক পরিসংখ্যা হলো 45, এবং এর অনুরূপ শ্রেণিটি হলো 75 – 85। অতএব, সংখ্যাগুরু মান সংবলিত শ্রেণি (Modal Class) = 75 – 85।
• ধাপ ২ (সূত্রের চলরাশিগুলির মান চিহ্নিতকরণ):
  • সংখ্যাগুরু মান সংবলিত শ্রেণির নিম্নসীমা (l) = 75
  • সংখ্যাগুরু মান সংবলিত শ্রেণির পরিসংখ্যা (f₁) = 45
  • সংখ্যাগুরু মান সংবলিত শ্রেণির ঠিক পূর্ববর্তী শ্রেণির পরিসংখ্যা (f₀) = 35
  • সংখ্যাগুরু মান সংবলিত শ্রেণির ঠিক পরবর্তী শ্রেণির পরিসংখ্যা (f₂) = 25
  • শ্রেণিদৈর্ঘ্য (h) = 85 − 75 = 10
• ধাপ ৩ (সংখ্যাগুরু মানের সূত্র প্রয়োগ):
  • সংখ্যাগুরু মান (Mode) = l + {(f₁ − f₀) / (2f₁ − f₀ − f₂)} × h
  • = 75 + {(45 − 35) / (2 × 45 − 35 − 25)} × 10
  • = 75 + {10 / (90 − 60)} × 10
  • = 75 + (100 / 30) = 75 + 3.33 = 78.33 (প্রায়)
• নির্ণেয় উত্তর: প্রদত্ত তথ্যের সংখ্যাগুরু মান ৭৮.৩৩ (প্রায়)।

মাধ্যমিক অঙ্ক (গণিত) পরীক্ষায় ১০০-তে ১০০ পাওয়ার খাতা সাজানোর টিপস (Math Exam Presentation Tips)

১. রাফ ওয়ার্ক (Rough Work) খাতার ডানদিকে করবে: অঙ্কের খাতার ডানদিকে স্কেল দিয়ে ২ ইঞ্চি মতো মার্জিন টেনে সেখানে সমস্ত গুণ-ভাগ ও ক্যালকুলেশন পরিষ্কারভাবে করবে। এতে কোনো কারণে শেষ লাইনে ক্যালকুলেশন ভুল হলেও স্টেপ মার্কিং (Step Marking)-এর নম্বর পুরো পাওয়া যায়। ২. একক (Units) ও উত্তর বাক্য: পাটিগণিত, পরিমিতি এবং উচ্চতা ও দূরত্বের অঙ্কে একক (টাকা, সেমি, বর্গসেমি, ঘনসেমি, মিটার) না লিখলে ১ নম্বর কেটে নেওয়া হয়। অঙ্কের শেষে অবশ্যই “নির্ণেয় উত্তর:” বলে পূর্ণ বাক্যে উত্তর লিখবে। ৩. উপপাদ্য ও উচ্চতা-দূরত্বের চিত্র: উপপাদ্য এবং উচ্চতা ও দূরত্বের (Height & Distance) অঙ্কে পেনসিল ও স্কেল দিয়ে পরিষ্কার জ্যামিতিক চিত্র আঁকা বাধ্যতামূলক। ছবি ছাড়া উপপাদ্য বা উচ্চতা-দূরত্বের অঙ্কে শূন্য (০) দেওয়া হয়। ৪. সম্পাদ্যের চিহ্ন ও পেনসিল: সম্পাদ্য অঙ্কনের সময় শুধুমাত্র ছবি আঁকলেই হবে না, নিচে ২-৩ লাইনে অঙ্কন পরিচিতি (যেমন— △ABC-এর অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন করা হলো যার কেন্দ্র I এবং অন্তর্ব্যাসার্ধ ID = 2.4 সেমি) অবশ্যই লিখবে।

প্রয়োজনীয় স্টাডি মেটেরিয়াল ও পিডিএফ বুক স্টোর লিঙ্ক (Internal Linking Box)

মাধ্যমিক ২০২৭ বিষয়ভিত্তিক সাজেশন ও পিডিএফ বুক ডাউনলোড (গুরুত্বপূর্ণ ইন্টারনাল লিঙ্ক):

• সব বিষয়ের মেগা সাজেশন হাব: মাধ্যমিক সাজেশন ২০২৭ সব বিষয় (All Subjects Suggestion) | মাধ্যমিক ২০২৭ লাস্ট মিনিট সাজেশন
• বাংলা প্রবন্ধ রচনা সাজেশন: মাধ্যমিক বাংলা প্রবন্ধ রচনা সাজেশন ২০২৭ (উত্তরসহ)
• ইংরেজি রাইটিং ও গ্রামার সাজেশন: মাধ্যমিক ইংরেজি রাইটিং স্কিল সাজেশন ২০২৭ | মাধ্যমিক ইংরেজি গ্রামার সম্পূর্ণ নোট ২০২৭
• গণিত উপপাদ্য ও সম্পাদ্য সাজেশন: মাধ্যমিক গণিত উপপাদ্য ও সম্পাদ্য সাজেশন ২০২৭ (১০০% কমনযোগ্য)
• ইতিহাস ও ভূগোল সাজেশন: মাধ্যমিক ইতিহাস সাজেশন ২০২৭ (৪ ও ৮ নম্বর) | মাধ্যমিক ভূগোল সাজেশন ২০২৭ | মাধ্যমিক ভূগোল ম্যাপ পয়েন্টিং সাজেশন ২০২৭
• জীবন বিজ্ঞান ও ভৌতবিজ্ঞান সাজেশন: মাধ্যমিক জীবন বিজ্ঞান সাজেশন ২০২৭ (চিত্র ও ৫ নম্বর) | মাধ্যমিক ভৌতবিজ্ঞান সাজেশন ২০২৭
• পিডিএফ বুক স্টোর ও ৭-বিষয়ের কম্বো গাইড: Madhyamik 2027 Challenger PDF Download | Madhyamik 2027 Complete 7 Subject Combo PDF Book | Madhyamik Suggestion Guide Books Store

মাধ্যমিক 2027 অঙ্ক (গণিত) সাজেশন সংক্রান্ত সাধারণ প্রশ্নোত্তর (FAQs)

প্রশ্ন ১: মাধ্যমিক 2027 অঙ্ক পরীক্ষায় কোন উপপাদ্যটি আসার সম্ভাবনা সবচেয়ে বেশি? উত্তর: মাধ্যমিক ২০২৭ (Madhyamik 2027) গণিত পরীক্ষায় উপপাদ্য ৪৯ (পিথাগোরাসের উপপাদ্য) এবং উপপাদ্য ৫০ (পিথাগোরাসের বিপরীত উপপাদ্য)—এই দুটির মধ্যে একটি আসার সম্ভাবনা ৯৯%। এর সাথে উপপাদ্য ৪৮ ও উপপাদ্য ৩৪ করে রাখলে ৫ নম্বর ১০০% নিশ্চিত।

প্রশ্ন ২: পাটিগণিত থেকে ৫ নম্বরের কমন পেতে কোন অধ্যায়টি সবচেয়ে ভালো করে করব? উত্তর: পাটিগণিতের ‘সরল সুদকষা’ (কষে দেখি 2) এবং ‘অংশীদারি কারবার’ (কষে দেখি 14)—এই দুটি অধ্যায়ের আমাদের দেওয়া বাছাই করা দাগ নম্বরগুলো অভ্যাস করলেই পরীক্ষায় ১টি ৫ নম্বরের অঙ্ক নিশ্চিত কমন পাবে।

প্রশ্ন ৩: অঙ্কে দুর্বল ছাত্রছাত্রীরা কীভাবে মাধ্যমিক ২০২৭ গণিতে সহজে ৬০+ নম্বর পেতে পারে? উত্তর: যারা অঙ্কে ভয় পায়, তারা প্রথমেই উপপাদ্য (৫), সম্পাদ্য (৫), রাশিবিজ্ঞান—গড়/মধ্যমা/সংখ্যাগুরু মান (৪+২+১=৭), পাটিগণিত (৫+৪+৩=১২) এবং পরিমিতির সূত্রভিত্তিক অঙ্ক (৮+৪+৩=১৫)—এই অংশগুলো ভালো করে অভ্যাস করবে। শুধুমাত্র এই সহজ অংশগুলো থেকেই ৪৫–৫০ নম্বর এবং প্রজেক্টের ১০ নম্বর মিলিয়ে সহজেই ৬০+ নম্বর তোলা যায়।

প্রশ্ন ৪: গণিত প্রকাশ বইয়ের বাইরে থেকে কি মাধ্যমিকে অঙ্ক আসে? উত্তর: না, মাধ্যমিক পরীক্ষার ৯০% প্রশ্নই পর্ষদের ‘গণিত প্রকাশ’ বইয়ের অনুশীলনী (কষে দেখি) এবং উদাহরণ বা ‘প্রয়োগ’ (Applications) থেকে হুবহু বা কেবল সংখ্যা পরিবর্তন করে দেওয়া হয়।

প্রশ্ন ৫: মাধ্যমিক 2027 গণিত প্রকাশের সমস্ত কষে দেখি-র সমাধান পিডিএফ কোথায় পাব? উত্তর: আমাদের ওয়েবসাইট wbbsenote.in এবং বুক স্টোর books.wbbsenote.in থেকে দশম শ্রেণির গণিত প্রকাশের সমস্ত অধ্যায়ের কষে দেখি-র সম্পূর্ণ সমাধান ও সাজেশন পিডিএফ ডাউনলোড করতে পারবে।

📚 আরও গুরুত্বপূর্ণ নোটস ও সাজেশন (Related Study Notes)

মাধ্যমিক সাজেশন ২০২৭ (Madhyamik Suggestion)

মাধ্যমিক 2027 টেস্ট পরীক্ষা ও লাস্ট মিনিট সাজেশন (২০২৭) | WBBSE Class 10 Madhyamik Test Exam & All Subjects Last Minute Suggestion 2027 PDF

নোট ও PDF পড়ুন →

Class 10 গণিত (Mathematics)

মাধ্যমিক 2027 গণিত পাটিগণিত ও বীজগণিত সাজেশন (২০২৭) | WBBSE Class 10 Math Arithmetic & Algebra Suggestion 2027 PDF (কষে দেখি 1, 2, 5, 6, 9, 13, 14)

নোট ও PDF পড়ুন →

Class 10 গণিত (Mathematics)

মাধ্যমিক 2027 গণিত ত্রিকোণমিতি সাজেশন এবং উচ্চতা ও দূরত্ব সমাধান (২০২৭) | WBBSE Class 10 Math Trigonometry & Height and Distance Suggestion 2027 PDF (কষে দেখি 20, 23, 24, 25)

নোট ও PDF পড়ুন →

Class 10 গণিত (Mathematics)

মাধ্যমিক 2027 গণিত পরিমিতি ও রাশিবিজ্ঞান সাজেশন (২০২৭) | WBBSE Class 10 Math Mensuration & Statistics Suggestion 2027 PDF (কষে দেখি 4, 8, 12, 16, 19, 26)

নোট ও PDF পড়ুন →

Class 10 ভৌতবিজ্ঞান (Physical Science)

মাধ্যমিক 2027 ভৌতবিজ্ঞান রসায়ন সাজেশন ও জৈব রসায়ন IUPAC নামকরণ (২০২৭) | WBBSE Class 10 Physical Science Chemistry Suggestion 2027 PDF

নোট ও PDF পড়ুন →

Class 10 ইংরেজি (English & Grammar)

মাধ্যমিক 2027 ইংরেজি গ্রামার সাজেশন ও ফ্রেজাল ভার্ব (২০২৭) | WBBSE Class 10 English Grammar & Phrasal Verbs Suggestion 2027 PDF প্রশ্ন উত্তর

নোট ও PDF পড়ুন →

✓

👨🏫 গণিত শিক্ষক (Mathematics) • Class 5–12 ⭐ ১২+ বছরের শিক্ষকতার অভিজ্ঞতা

সৌম্যজিৎ বসু (Soumyajit Basu)

🎓 M.Sc. (Mathematics), B.Ed., WBSSC SLST Qualified

সৌম্যজিৎ বসু পশ্চিমবঙ্গ বোর্ডের গণিত বিষয়ের একজন অভিজ্ঞ শিক্ষক। পাটিগণিত, বীজগণিত, জ্যামিতি, পরিমিতি ও উচ্চমাধ্যমিক কলনবিদ্যার (Calculus) প্রতিটি অঙ্কের ধাপে ধাপে সহজ সমাধান তৈরিতে তিনি বিশেষভাবে পরিচিত।