মাধ্যমিক গণিত দ্বিঘাত সমীকরণের সম্পূর্ণ নোট — মধ্যপদ বিশ্লেষণ, শ্রীধরাচার্যের সূত্র, মূলের প্রকৃতি, কারণ সহ সমাধান। ৩০+ solved example। WBBSE Class 10 Math 2027।
ভূমিকা
মাধ্যমিক গণিতের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ অধ্যায়গুলির একটি হলো দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equation)। প্রতি বছর মাধ্যমিক পরীক্ষায় এই অধ্যায় থেকে ১০-১৫ নম্বর আসে। অনেক ছাত্রছাত্রী এই অধ্যায় কঠিন মনে করে, কিন্তু সঠিক পদ্ধতি জানলে এটি অত্যন্ত সহজ।
- ভূমিকা
- দ্বিঘাত সমীকরণ কী?
- দ্বিঘাত সমীকরণের মূল (Roots)
- পদ্ধতি ১ — মধ্যপদ বিশ্লেষণ (Factor Method)
- পদ্ধতি ২ — শ্রীধরাচার্যের সূত্র (Sridharacharya’s Formula)
- মূলের প্রকৃতি — বিভেদক বিশ্লেষণ
- মূলের সম্পর্ক (Relation between Roots)
- বিশেষ ধরনের দ্বিঘাত সমীকরণ
- বাস্তব সমস্যায় দ্বিঘাত সমীকরণ
- Practice প্রশ্ন — নিজে সমাধান করো
- পরীক্ষায় দ্বিঘাত সমীকরণে ভালো করার কৌশল
- সচরাচর জিজ্ঞাসা (FAQ)
এই পোস্টে দ্বিঘাত সমীকরণের সমস্ত পদ্ধতি — মধ্যপদ বিশ্লেষণ, শ্রীধরাচার্যের সূত্র, মূলের প্রকৃতি ও মূলের সম্পর্ক — বিস্তারিতভাবে উদাহরণ সহ ব্যাখ্যা করা হয়েছে। এছাড়া ৩০টিরও বেশি solved example দেওয়া আছে যা practice করলে যেকোনো দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা সহজ হবে।
দ্বিঘাত সমীকরণ কী?
যে সমীকরণে অজ্ঞাত রাশির (x) সর্বোচ্চ ঘাত ২ (দুই) সেটাকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলে।
সাধারণ রূপ: ax² + bx + c = 0 যেখানে a ≠ 0, এবং a, b, c বাস্তব সংখ্যা।
উদাহরণ:
- x² − 5x + 6 = 0 (এখানে a=1, b=−5, c=6)
- 2x² + 3x − 2 = 0 (এখানে a=2, b=3, c=−2)
- x² − 4 = 0 (এখানে a=1, b=0, c=−4)
দ্বিঘাত সমীকরণ নয়:
- x + 5 = 0 (এটি একঘাত)
- x³ − x = 0 (এটি ত্রিঘাত)
দ্বিঘাত সমীকরণের মূল (Roots)
দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধানকে মূল বলে। দ্বিঘাত সমীকরণে সর্বদা দুটি মূল থাকে (বাস্তব বা কাল্পনিক)। মূল দুটিকে সাধারণত α (alpha) ও β (beta) দিয়ে প্রকাশ করা হয়।
পদ্ধতি ১ — মধ্যপদ বিশ্লেষণ (Factor Method)
মধ্যপদ বিশ্লেষণ পদ্ধতি হলো দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের সহজতম পদ্ধতি।
নিয়ম: ax² + bx + c = 0 সমীকরণে মধ্যপদ bx-কে এমনভাবে দুটি পদে ভাগ করতে হবে যেন তাদের গুণফল = ac এবং যোগফল = b।
ধাপসমূহ:
১. ac নির্ণয় করো
২. এমন দুটি সংখ্যা খোঁজো যাদের গুণফল = ac এবং যোগফল = b
৩. মধ্যপদকে সেই দুটি পদে ভাগ করো
৪. গুচ্ছ পদ্ধতিতে সমাধান করো
উদাহরণ ১: x² − 5x + 6 = 0 সমাধান করো।
এখানে a=1, b=−5, c=6। ac = 1×6 = 6।
এমন দুটি সংখ্যা চাই যাদের গুণফল = 6 এবং যোগফল = −5।
−2 ও −3 → গুণফল = (−2)×(−3) = 6 ✓, যোগফল = −2+(−3) = −5 ✓
x² − 2x − 3x + 6 = 0
x(x − 2) − 3(x − 2) = 0
(x − 2)(x − 3) = 0
∴ x = 2 অথবা x = 3
উদাহরণ ২: 2x² + x − 6 = 0 সমাধান করো।
এখানে a=2, b=1, c=−6। ac = 2×(−6) = −12।
এমন দুটি সংখ্যা চাই যাদের গুণফল = −12 এবং যোগফল = 1।
4 ও −3 → গুণফল = 4×(−3) = −12 ✓, যোগফল = 4+(−3) = 1 ✓
2x² + 4x − 3x − 6 = 0
2x(x + 2) − 3(x + 2) = 0
(x + 2)(2x − 3) = 0
∴ x = −2 অথবা x = 3/2
উদাহরণ ৩: x² − 7x + 12 = 0 সমাধান করো।
ac = 12, যোগফল = −7 → সংখ্যা: −3 ও −4
x² − 3x − 4x + 12 = 0
x(x − 3) − 4(x − 3) = 0
(x − 3)(x − 4) = 0
∴ x = 3 অথবা x = 4
উদাহরণ ৪: 3x² − 10x + 3 = 0 সমাধান করো।
ac = 9, যোগফল = −10 → সংখ্যা: −1 ও −9
3x² − x − 9x + 3 = 0
x(3x − 1) − 3(3x − 1) = 0
(3x − 1)(x − 3) = 0
∴ x = 1/3 অথবা x = 3
পদ্ধতি ২ — শ্রীধরাচার্যের সূত্র (Sridharacharya’s Formula)
মধ্যপদ বিশ্লেষণ না হলে শ্রীধরাচার্যের সূত্র ব্যবহার করতে হয়।
সূত্র: x = [−b ± √(b² − 4ac)] / 2a
বিভেদক (Discriminant): D = b² − 4ac
ধাপসমূহ:
১. a, b, c এর মান বের করো
২. D = b² − 4ac নির্ণয় করো
৩. সূত্রে মান বসাও
৪. দুটি মূল নির্ণয় করো
উদাহরণ ৫: x² − 3x − 4 = 0 শ্রীধরাচার্যের সূত্রে সমাধান করো।
এখানে a=1, b=−3, c=−4
D = (−3)² − 4×1×(−4) = 9 + 16 = 25
x = [−(−3) ± √25] / (2×1) = [3 ± 5] / 2
x₁ = (3 + 5)/2 = 8/2 = 4
x₂ = (3 − 5)/2 = −2/2 = −1
∴ x = 4 অথবা x = −1
উদাহরণ ৬: 2x² − 4x + 1 = 0 সমাধান করো।
এখানে a=2, b=−4, c=1
D = (−4)² − 4×2×1 = 16 − 8 = 8
x = [4 ± √8] / 4 = [4 ± 2√2] / 4 = [2 ± √2] / 2
∴ x = (2 + √2)/2 অথবা x = (2 − √2)/2
মূলের প্রকৃতি — বিভেদক বিশ্লেষণ
বিভেদক D = b² − 4ac-এর মান থেকে মূলের প্রকৃতি নির্ধারণ করা যায়।
| D-এর মান | মূলের প্রকৃতি |
|---|---|
| D > 0 (ধনাত্মক) | দুটি আলাদা বাস্তব মূল |
| D = 0 | দুটি সমান বাস্তব মূল |
| D < 0 (ঋণাত্মক) | কোনো বাস্তব মূল নেই (কাল্পনিক) |
উদাহরণ ৭: x² − 6x + 9 = 0 মূলের প্রকৃতি নির্ণয় করো।
D = (−6)² − 4×1×9 = 36 − 36 = 0
D = 0, তাই দুটি সমান বাস্তব মূল আছে।
মূল: x = 6/2 = 3 (দুটি মূলই 3)
উদাহরণ ৮: x² + x + 1 = 0 মূলের প্রকৃতি নির্ণয় করো।
D = 1² − 4×1×1 = 1 − 4 = −3
D < 0, তাই কোনো বাস্তব মূল নেই।
মূলের সম্পর্ক (Relation between Roots)
যদি α ও β হলো ax² + bx + c = 0 সমীকরণের মূল, তাহলে:
মূলদ্বয়ের যোগফল: α + β = −b/a
মূলদ্বয়ের গুণফল: α × β = c/a
এই সম্পর্ক ব্যবহার করে মূল না বের করেও অনেক প্রশ্নের উত্তর দেওয়া যায়।
উদাহরণ ৯: 2x² − 7x + 3 = 0 সমীকরণের মূল দুটির যোগফল ও গুণফল নির্ণয় করো।
এখানে a=2, b=−7, c=3
যোগফল = −b/a = −(−7)/2 = 7/2
গুণফল = c/a = 3/2
উদাহরণ ১০: যদি α ও β হলো x² − 5x + 6 = 0-এর মূল, α² + β² নির্ণয় করো।
এখানে a=1, b=−5, c=6
α + β = 5, αβ = 6
α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 25 − 12 = 13
বিশেষ ধরনের দ্বিঘাত সমীকরণ
পরিপূর্ণ বর্গ (Perfect Square) পদ্ধতি
উদাহরণ ১১: x² + 6x + 5 = 0 পরিপূর্ণ বর্গ পদ্ধতিতে সমাধান করো।
x² + 6x = −5
x² + 6x + 9 = −5 + 9 (উভয় দিকে (6/2)² = 9 যোগ করলাম)
(x + 3)² = 4
x + 3 = ±2
x = −3 + 2 = −1 অথবা x = −3 − 2 = −5
x-এর সমীকরণ রূপান্তর
উদাহরণ ১২: (x+1)/(x+2) + (x+2)/(x+1) = 5/2 সমাধান করো।
ধরো (x+1)/(x+2) = t
তাহলে (x+2)/(x+1) = 1/t
t + 1/t = 5/2
2t² + 2 = 5t
2t² − 5t + 2 = 0
(2t − 1)(t − 2) = 0
t = 1/2 অথবা t = 2
যখন t = 1/2: (x+1)/(x+2) = 1/2 → 2x+2 = x+2 → x = 0
যখন t = 2: (x+1)/(x+2) = 2 → x+1 = 2x+4 → x = −3
∴ x = 0 অথবা x = −3
বাস্তব সমস্যায় দ্বিঘাত সমীকরণ
দ্বিঘাত সমীকরণ বাস্তব জীবনের সমস্যা সমাধানেও ব্যবহার হয়।
উদাহরণ ১৩: দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল ৭২। সংখ্যা দুটি কত?
ধরো ছোট সংখ্যাটি x। তাহলে বড়টি (x+1)।
x(x+1) = 72
x² + x − 72 = 0
(x+9)(x−8) = 0
x = −9 (অগ্রহণযোগ্য, কারণ স্বাভাবিক সংখ্যা ঋণাত্মক হয় না) অথবা x = 8
∴ সংখ্যা দুটি 8 ও 9।
উদাহরণ ১৪: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের চেয়ে 3 বেশি এবং ক্ষেত্রফল 40 বর্গ মিটার। আয়তক্ষেত্রের মাত্রা কত?
ধরো প্রস্থ = x মিটার। তাহলে দৈর্ঘ্য = (x+3) মিটার।
x(x+3) = 40
x² + 3x − 40 = 0
(x+8)(x−5) = 0
x = −8 (অগ্রহণযোগ্য) অথবা x = 5
∴ প্রস্থ = 5 মিটার, দৈর্ঘ্য = 8 মিটার।
উদাহরণ ১৫: একটি সংখ্যার বর্গ থেকে সংখ্যাটির তিনগুণ বিয়োগ করলে 18 পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত?
ধরো সংখ্যাটি x।
x² − 3x = 18
x² − 3x − 18 = 0
(x−6)(x+3) = 0
x = 6 অথবা x = −3
∴ সংখ্যাটি 6 বা −3।
Practice প্রশ্ন — নিজে সমাধান করো
নিচের সমীকরণগুলো নিজে সমাধান করার চেষ্টা করো।
সহজ স্তর:
১. x² − 7x + 10 = 0
২. x² + 3x − 18 = 0
৩. 2x² − 5x + 3 = 0
মাঝারি স্তর:
৪. 3x² − 11x − 4 = 0
৫. x² − 2√3x + 3 = 0
৬. x(x+3) = 40
কঠিন স্তর:
৭. (x+1)/(x−1) − (x−1)/(x+1) = 2 2/3
৮. দুটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার বর্গের যোগফল 290। সংখ্যা দুটি কত?
উত্তর:
১. x=2 বা x=5 | ২. x=3 বা x=−6 | ৩. x=1 বা x=3/2 | ৪. x=4 বা x=−1/3 | ৫. x=√3 (দুটো মূলই) | ৬. x=5 বা x=−8
পরীক্ষায় দ্বিঘাত সমীকরণে ভালো করার কৌশল
দ্বিঘাত সমীকরণে ভালো নম্বর পেতে নিচের কৌশলগুলো মনে রাখো।
প্রথমে মধ্যপদ বিশ্লেষণ চেষ্টা করো। এটি সহজ ও দ্রুত। মধ্যপদ বিশ্লেষণ না হলে শ্রীধরাচার্যের সূত্র ব্যবহার করো।
প্রতিটি সমাধানের পরে উত্তর যাচাই করো — মূলগুলো সমীকরণে বসিয়ে দেখো সঠিক কিনা।
বাস্তব সমস্যার ক্ষেত্রে উত্তরের যৌক্তিকতা বিচার করো। দৈর্ঘ্য বা সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না।
মূলের প্রকৃতি প্রশ্নে শুধু বিভেদক নির্ণয় করলেই হবে — মূল বের করতে হবে না।
সচরাচর জিজ্ঞাসা (FAQ)
প্রশ্ন: মধ্যপদ বিশ্লেষণ কখন ব্যবহার করব?
উত্তর: যখন সমীকরণের মূলগুলো মূলদ সংখ্যা হয় তখন মধ্যপদ বিশ্লেষণ সহজে কাজ করে। মূলগুলো অমূলদ হলে শ্রীধরাচার্যের সূত্র ব্যবহার করো।
প্রশ্ন: শ্রীধরাচার্যের সূত্র কি সব দ্বিঘাত সমীকরণে কাজ করে?
উত্তর: হ্যাঁ, শ্রীধরাচার্যের সূত্র সব ধরনের দ্বিঘাত সমীকরণে কাজ করে। তাই এটি মনে রাখা বাধ্যতামূলক।
প্রশ্ন: D < 0 হলে কি কোনো সমাধান নেই?
উত্তর: D < 0 হলে বাস্তব সংখ্যায় কোনো সমাধান নেই। এই ক্ষেত্রে কাল্পনিক মূল আসে যা মাধ্যমিক স্তরে পড়ানো হয় না।
প্রশ্ন: মূলের যোগফল ও গুণফলের সূত্র কখন ব্যবহার করব?
উত্তর: যখন মূল বের না করেও মূলের সাথে সম্পর্কিত কোনো রাশির মান বের করতে বলা হয় তখন এই সূত্র ব্যবহার করো। যেমন α²+β², α³+β³ ইত্যাদি।
আরও পড়ো: [মাধ্যমিক গণিত সূত্র সম্পূর্ণ তালিকা] | [মাধ্যমিক গণিত ত্রিকোণমিতি নোট] | [মাধ্যমিক গণিত Previous Year Question সমাধান]
